Многогранники

Оберіть потрібну рубрику, клікніть її – так швидше знайдете необхідну шпаргалку.

• Види многогранників
• Як малювати многогранники в зошиті в клітинку?
• Елементи многогранників
• Розгортки многогранників
• Призмa
• Пірамідa
• Правильні многогранники
• Формули
• Комбінації многогранників
• Многогранники навколо нас
• Питання для самоперевірки

Види многогранників

Многогранники — це об'ємні геометричні тіла, обмежені плоскими многокутниками (гранями). Основні види многогранників: призми, піраміди та правильні многогранники (Платонові тіла), а також їхні модифікації: зрізані призми, зрізані піраміди, зірчасті та напівправильні многогранники.

Як будувати зображення многогранників?

Послідовність побудови призми

Зобразіть вершини основ призми.

З'єднайте всі вершини кожної основи.

Сполучіть відповідні вершини верхньої та нижньої основ – це бічні ребра призми.

Hевидимі ребра кресліть штриховою лінією, а видимі – суцільною.

Куб	Паралелепіпед	Трикутна призма
	Шестикутна призма
Трикутна піраміда	Чотирикутна піраміда	Шестикутна піраміда

Послідовність побудови піраміди

Зобразіть вершини основи піраміди.

Позначте основу висоти піраміди.

Накресліть висоту піраміди штриховою лінією.

Вершину піраміди сполучіть із вершинами основи – це бічні ребра піраміди.

Hевидимі ребра основи кресліть штриховою лінією, а видимі – суцільною.

Особливі випадки

Елементи многогранників

Призма має такі елементи: дві рівні основи; бічні ребра; бічні грані; висоту; діагоналі.

Основа призми — це плоский многокутник, який може бути як правильним, так і неправильним.

Бічне ребро призми — це відрізок, що з’єднує відповідні вершини основ.

Бічна грань призми — це паралелограм, що утворюється із двох бічних ребер і двох відповідних сторін основ.

Висота призми — це відстань між площинами основ.

Висота прямої призми збігається з її бічним ребром.

Висота похилої призми — це перпендикуляр, проведений між основами призми. Цей перпендикуляр часто проводять з однієї з вершин верхньої основи.

Діагональ основи призми — це відрізок, що з’єднує дві її несусідні вершини.

Діагональ бічної грані призми — це відрізок, що з’єднує протилежні вершини бічної грані.

Діагональ призми — це відрізок, який з'єднує дві вершини, що не належать одній грані.

Піраміда має такі елементи: основу; вершину; бічні ребра; бічні грані; апофему; висоту.

Основа піраміди — це плоский многокутник, який може бути як правильним, так і неправильним.

Вершина основи піраміди — це спільна точка трьох ребер.

Вершина піраміди — це єдина точка, що не належить площині основи, в якій сходяться всі бічні ребра піраміди. Вона є спільною вершиною всіх бічних граней.

Бічне ребро піраміди — це відрізок, що з’єднує вершину піраміди з вершиною основи.

Бічна грань піраміди — це трикутник, що з'єднує вершину піраміди з однією зі сторін основи.

Апофемою правильної піраміди називається висота її бічної грані, тобто перпендикуляр, опущений з вершини піраміди до середини сторони основи.

Висота бічної грані довільної піраміди спеціальної назви не має.

Висота піраміди — це перпендикуляр, проведений з вершини піраміди до площини основи.

Теорема Ейлера

У будь-якому опуклому многограннику сума кількості вершин і граней на 2 більша, ніж кількість ребер: В + Г - 2 = Р або В + Г - Р = 2.

Запам’ятайте !!!

Будь-яка призма має парну кількість вершин.

Будь-яка піраміда має парну кількість ребер.

Розгортки многогранників

Розгорткою многогранної поверхні називають суміщену з площиною аркуша плоску фігуру, складену у певному порядку з граней многогранника. Для одного й того ж многогранника можуть існувати різні розгортки. На розгортці всі лінії та кути зображаються в натуральну величину, тому перед побудовою розгортки визначають натуральні величини елементів поверхні.

Призмa

Зрізана призма

Призма — це многогранник з двома рівними паралельними основами
(многокутниками) та бічними гранями (паралелограмами).

---

Зрізана призма — це призма з непаралельними основами.

Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до площини основи, то призму називають прямою.

Призма, бічні ребра якої не перпендикулярні основам, називається похилою призмою.

Пряма призма називається правильною, якщо її основи — правильні многокутники.

Правильна чотирикутна призма: основа — квадрат, висота призми не обов'язково дорівнює стороні основи.

Куб: всі ребра куба рівні, всі грані — квадрати.

Паралелепіпед — це чотирикутна призма, всі грані якої є паралелограмами.

Паралелепіпед може бути прямим, похилим, прямокутним або кубом.

Прямий паралелепіпед: основа — паралелограм або ромб, бічні ребра перпендикулярні до основи. Висота призми співпадає з бічним ребром.

Похилий паралелепіпед: основа — будь-який паралелограм, бічні ребра не перпендикулярні до основи.

Прямокутний паралелепіпед: основа — прямокутник, бічні ребра перпендикулярні до основи.

Виконувати обчислення найлегше для прямокутного паралелепіпеда, тому що всі його грані — прямокутники. У такій формі зроблені більшість пакувальних коробок, шоколадні цукерки тощо.

Виміри прямокутного паралелепіпеда

Вимірами прямокутного паралелепіпеда, а саме довжиною, шириною і висотою, називаються довжини трьох ребер, що мають спільну вершину.

Є три групи рівних між собою ребер (по 4 ребра).

Діагоналі прямокутного паралелепіпеда

Сторона основи (a) та висота (h) правильної призми

Зверніть увагу!

Для розв'язування задач необхідно знати
властивості окремих елементів призми, які в умові зазвичай опускаються,
так як вважається, що учень повинен це знати з самого початку.

Властивості призми

Призма має дві основи.

Основи призми є рівними многокутниками.

Бічні грані призми є паралелограмами.

Бічні ребра призми паралельні і рівні.

Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних ребер призми.

Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних граней.

Кути перпендикулярного перерізу — це лінійні кути двогранних кутів при відповідних бічних ребрах.

Висота прямої призми дорівнює довжині ребра.

Висота похилої призми завжди менша довжини ребра.

В прямій призмі бічні грані можуть бути прямокутниками та квадратами.

Якщо діагоналі основи прямої призми рівні, тоді діагоналі самої призми теж рівні.

У прямокутного паралелепіпеда всі діагоналі рівні.

Перерізи призми

Часто у задачах необхідно не тільки побудувати переріз призми,
а й знайти його площу або периметр, або використати переріз з іншою метою.

Якщо січна площина паралельна основам призми, то перерізом є многокутник, що рівний основам.

Якщо січна площина перпендикулярна до всіх бічних ребер призми, то переріз називається перпендикулярним.

Переріз, перпендикулярний до бічних ребер: у прямій призмі — рівний основам, в похилій — відмінний від основи.

Поняття «осьовий переріз» не застосовується до многогранників, таких як призма. Натомість для призм розглядають діагональний переріз.

Діагональний переріз призми — це переріз площиною, що проходить через діагональ основи та два бічних ребра, які не належать одній грані.

Кожний діагональний переріз містить дві діагоналі призми.

Діагональний переріз прямої призми є прямокутником.

Діагональний переріз похилої призми — паралелограм.

Трикутна призма не має діагонального перерізу.

Діагональні перерізи призми

1. Вісь симетрії мають лише ті призми, основи яких є симетричними фігурами.
2. Ці властивості мають правильні призми, деякі прямі призми, а також окремі види похилих.
3. Правильні призми мають одну головну вісь симетрії, яка проходить через центри обох основ
   (ця вісь збігається з висотою призми).
4. Також вісь симетрії має пряма призма, в основі якої лежить фігура з віссю симетрії
   (наприклад, прямокутник або рівнобедрений трикутник).
5. Деякі види похилих призм можуть мати вісь симетрії, якщо в їхній основі лежать правильні многокутники (наприклад, правильний трикутник, квадрат, правильний шестикутник). Ця вісь проходить через центри основ, але розташована під кутом до них (у напрямку бічних ребер).
6. Призми, що не мають осі симетрії: похилі та прямі призми довільної форми (в основі лежить несиметричний многокутник).
7. Правильні призми (наприклад, правильна трикутна, правильна чотирикутна — куб, чи правильна шестикутна) мають також множину інших осей симетрії, перпендикулярних до головної осі, та площини симетрії.

У правильного шестикутника діагоналі бувають двох видів — короткі і довгі.
Тому існує два види діагональних перерізів шестикутної призми:

Перерізи куба

Перерізом є квадрат		Перерізами є прямокутники
Перерізом є трикутник	Перерізом є трикутник	Перерізом є трикутник
Перерізом є трикутник	Перерізом є чотирикутник	Перерізом є прямокутник
Перерізом є прямокутник	Перерізом є прямокутник	Перерізами є прямокутники
Перерізом є п'ятикутник	Перерізом є шестикутник	Перерізом є шестикутник

Побудова перерізів многогранників

Розгортки призми

Розгортка поверхні призми — це плоска фігура, складена з бічних граней: паралелограмів і многокутника — основи. Площа поверхні призми — це сума площ усіх її граней. Вона дорівнює площі розгортки даної призми.

Розгортка похилої призми

Розгортки прямих призм

Трикутна призма		Чотирикутна призма
П'ятикутна призма		Шестикутна призма
Восьмикутна		призма

Куб є мірним многогранником тривимірного простору: куб з довжиною ребра 1 є одиницею вимірювання об'єму простору (так само як квадрат є одиницею вимірювання площі).

Діагоналі куба

Діагоналі двох кубів

Елементи симетрії куба

Всі осі симетрії куба та площини його симетрії перетинаються в одній точці. Вона називається центром симетрії куба.

Куб має 9 площин дзеркальної симетрії.

Три з них проходять через середини паралельних ребер та перпендикулярні до них, а 6 проходять через діагоналі протилежних граней і через протилежні ребра куба.

Куб має 13 осей обертової симетрії.

1) Три осі симетрії проходять через центри протилежних граней
(поворот на 90°, 180° і 270°).
      2) Чотири осі симетрії проходять через протилежні вершини куба.
Вони містять діагоналі куба (поворот на 120° і 240°).
      3) Шість осей симетрії проходять через середини протилежних ребер
(поворот на 180°).

Куб має 1 центр симетрії:
в ньому перетинаються всі осі та площини симетрії.

Розгортки куба

Розгорткою куба називається шестиклітинкова плоска фігура, в результаті згинання якої по лініях клітинок можна отримати всю поверхню куба.

Основна властивість розгортки куба

Будь-яка розгортка куба може бути накреслена на клітинковому папері мінімальним розміром прямокутника 3х4, якщо одна клітинка дорівнює площі грані куба.

Якщо розгортку куба не можна перевертати на іншу сторону, то кількість різних розгорток куба дорівнює 19.

Якщо розгортку можна перевертати на іншу сторону, то кількість різних розгорток куба дорівнює 11.

Варіанти розгорток куба

Похила ромбічна призма або ромбічний гексаедр

Особлива призма

У геометрії ромбоедр — це особливий паралелепіпед, усі шість граней якого є рівними ромбами.

---

Куб — це особливий ромбоедр, усі грані якого є квадратами.

Ромбоедр разом зі своїми зміщеннями вздовж ребер утворює ґратку, що заповнює простір. Така ґратка також зустрічається в природі: наприклад, доломіт має таку кристалічну структуру (ґратка [-и, ж. , фіз. , хім.] — це кристалічна решітка).

Ромбоедр

Розгортка ромбоедра

Пірамідa

Зрізана піраміда

Піраміда — це многогранник, основа якого є многокутником, а інші грані — трикутниками, що мають спільну вершину.

---

Зрізана піраміда — це частина піраміди, обмежена основою та площиною, паралельною до основи, з бічними гранями у вигляді трапецій.

Піраміда n-кутна, якщо її основою є n-кутник.

Піраміда називається правильною, якщо її основа — правильний многокутник, а висота проходить через центр основи, тобто вершина піраміди проектується в центр основи.

Віссю правильної піраміди називається пряма, яка містить її висоту.

Правильна трикутна піраміда, у якої всі ребра рівні, називається тетраедром.

Всі грані тетраедра — рівні рівносторонні трикутники.

Висоту бічної грані правильної піраміди називають апофемою.
Не плутайте її з висотою піраміди!

Зверніть увагу!

Для розв'язування задач необхідно знати
властивості окремих елементів піраміди, які в умові зазвичай опускаються,
так як вважається, що учень повинен це знати з самого початку.

Властивості піраміди

Піраміда має одну основу.

Піраміда має одну вершину.

Бічна грань піраміди — трикутник.

Властивості правильної піраміди

бічні ребра рівні між собою;

апофеми рівні;

aпофема завжди БІЛЬША за висоту правильної піраміди;

всі бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками;

периметри бічних граней рівні;

площі бічних граней рівні;

в будь-яку правильну піраміду можна вписати сферу;

навколо будь-якої правильної піраміди можна описати сферу;

якщо центри вписаної і описаної сфер збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює π,а кожен з них відповідно π/n, де n - кількість сторін многокутника основи;

площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи та апофеми;

навколо основи правильної піраміди можна описати коло;

в основy правильної піраміди можна вписати коло;

всі бічні грані правильної піраміди утворюють з площиною основи рівні кути;

всі кути між бічними гранями правильної піраміди рівні.

Перерізи піраміди

Часто у задачах необхідно не тільки побудувати переріз піраміди, а й знайти його площу або периметр, або використати переріз з іншою метою.

Якщо січна площина паралельна основі піраміди, то вона утворює переріз, який є подібним до основи.

Поняття «осьовий переріз» не застосовується до многогранників, таких як піраміда. Натомість для призм розглядають діагональний переріз.

Діагональний переріз піраміди — це переріз, який проходить через два бічних ребра, що не належать одній грані. У результаті такого перерізу утворюється трикутник, одна з вершин якого є вершиною піраміди, а протилежна сторона — діагоналлю основи.

Трикутна піраміда не має діагонального перерізу.

Діагональні перерізи піраміди завжди є трикутниками.

У випадку правильної чотирикутної піраміди, діагональний переріз може бути рівностороннім або прямокутним трикутником, залежно від розташування ребер.

Діагональні перерізи піраміди

Перерізи піраміди, що не проходять через її вершину

Переріз піраміди площиною,
паралельною основі

Перерізом є трикутник	Перерізом є трикутник	Перерізом є трапеція
Перерізом є чотирикутник	Перерізом є чотирикутники	Перерізом є п'ятикутник

Перерізи тетраедра

Зрізана піраміда — це многогранник, який утворюється, коли від звичайної піраміди відтинають її верхівку площиною, паралельною основі.

Зрізана піраміда має дві основи: верхню та нижню, які є подібними многокутниками.

Бічні грані зрізаної піраміди є трапеціями.

Властивості правильної зрізаної піраміди

Усібічні ребра правильної зрізаної піраміди рівні.

Усіапофемиправильної зрізаної піраміди рівні.

Усібічні граніправильної зрізаної піраміди є рівними рівнобічнимитрапеціями.

Усідвогранні кути при основі у правильній зрізаній піраміді рівні.

Побудова перерізів многогранників

Розгортки піраміди

Розгортка поверхні піраміди — це плоска фігура, складена з бічних граней: трикутників і многокутника — основи. Площа поверхні піраміди — це сума площ усіх її граней. Вона дорівнює площі розгортки даної піраміди.

Розгортки прямих пірамід

Трикутна піраміда і зрізана трикутна піраміда

Чотирикутна піраміда і зрізана чотирикутна піраміда

П'ятикутна піраміда

Шестикутна піраміда і зрізана шестикутна піраміда

Семикутна піраміда

Восьмикутна піраміда

Дев'ятикутна піраміда

Десятикутна піраміда

Правильні многогранники

Тетраедр

Гексаедр

Октаедр

Додекаедр

Ікосаедр

Правильні многогранники (Платонові тіла) — це такі многогранники, у яких всі грані є рівними правильними многокутниками (кількість сторін менше 6), а в кожній вершині сходиться однакова кількість граней. Є 5 типів Платонових тіл:

• Тетраедр: 4 грані (трикутники).
• Гексаедр (куб): 6 граней (квадрати).
• Октаедр: 8 граней (трикутники).
• Додекаедр: 12 граней (п'ятикутники).
• Ікосаедр: 20 граней (трикутники).

Зверніть увагу! Не існує правильного многогранника, гранями якого є правильні многокутники, кількість сторін яких 6 або більше (n ≥ 6).

Розгортки Платонових тіл

Формули

Формули для куба

Формули для правильних многогранників

Формули для призми

Формули для піраміди

А ВИ ПРО ЦЕ ЗНАЛИ?

Якщо піраміда та призма мають однакову площу основи та однакову висоту, то об'єм піраміди становить рівно одну третину від об'єму призми. Об'єм призми втричі більший за об'єм піраміди з аналогічними параметрами:    V_призми = 3 ∙ V_{піраміди}  .
Це правило важливе для різних застосувань у фізиці, хімії та техніці.

Комбінації многогранників

Куб, вписаний у кулю або Куля, описана навколо куба

Коли куб вписаний у кулю, усі вершини куба лежать на поверхні сфери.

---

Центр кулі збігається з центром куба.

Діагональ куба дорівнює діаметру кулі.

Куб, описаний навколо кулі або Куля, вписана у куб

Куб є описаним навколо кулі, якщо всі його грані дотикаються до поверхні кулі.

---

У такому разі діаметр кулі дорівнює ребру куба, а радіус кулі вдвічі менший за ребро куба.

Відношення об'єму кулі до об'єму описаного навколо неї куба становить

Піраміда, вписана у кулю або Куля, описана навколо піраміди

Піраміда вважається вписаною у кулю (або куля описана навколо піраміди), якщо всі її вершини лежать на поверхні кулі.

---

Кулю можна описати лише навколо тієї піраміди, навколо основи якої можна описати коло (це правило діє для будь-якого багатокутника основи).

Центр кулі лежить на прямій, що містить висоту піраміди, або в площині, яка проходить через середину ребра перпендикулярно до нього.

Піраміда, описана навколо кулі або Куля, вписана у піраміду

Піраміда називається описаною навколо кулі (або куля є вписаною в піраміду), якщо всі її грані (основа та бічні грані) дотикаються до поверхні кулі. Центр кулі лежить всередині піраміди на її висоті, на однаковій відстані від усіх граней.

---

Якщо піраміда є правильною, то куля дотикається до основи у центрі вписаного в неї кола.

До бічних граней куля дотикається по відрізках, які з'єднують вершину піраміди з точками дотику вписаного кола в основі.

Многогранники навколо нас

Призма і піраміда зустрічається всюди

---

Класичний приклад — шоколад Toblerone: його упаковка й сам батончик мають форму правильної трикутної призми, що робить продукт впізнаваним з 1908 року.

Оптичні скляні призми з рівностороннім трикутником у перерізі розкладають біле світло на спектр — саме так Ньютон у 1666 році довів складну природу світла.

Сучасні спектрометри, біноклі та лазерні системи досі використовують призми для відхилення й розкладання променів.

В архітектурі та інженерії трикутні призми з’являються у балках, опорах і декоративних елементах. Трикутний переріз забезпечує високу жорсткість при меншій вазі матеріалу.

У дизайні інтер’єрів призматичні світильники та меблі створюють цікаву гру світла й тіней.

У 3D-графіці та друку трикутна призма — базовий примітив для побудови складніших моделей.

У сучасному дизайні упаковки трикутна призма забезпечує стійкість на полиці та економію місця при транспортуванні завдяки щільному приляганню.

Бджолині соти, кристалічна решітка алмаза, кристали солі, базальтові колони, сендвічі, онігірі, кубики, головоломки, маяки. ...

Шпаківня у вигляді ікосаедра — зручне гніздо для пташок

Оптичні призми

Питання для самоперевірки

Призма

1) Яке геометричне тіло називається призмою?
2) Що є елементами призми?
3) Яку призму називають прямою?
4) Яку призму називають правильною?
5) Яку призму називають паралелепіпедом?
6) Яку призму називають кубом?
7) Які існують види перерізів призми?
8) Чому дорівнює площа бічної поверхні призми?
9) Чому дорівнює площа повної поверхні призми?
10) Чому дорівнює об’єм призми?

Піраміда

1) Яке геометричне тіло називається пірамідою?
2) Що є елементами піраміди?
3) Яку піраміду називають правильною?
4) Яку піраміду називають тетраедром?
5) Види перерізів піраміди?
6) Що називають апофемою піраміди?
7) Чому дорівнює площа бічної поверхні піраміди?
8) Чому дорівнює площа повної поверхні піраміди?
9) Чому дорівнює об’єм піраміди?