теореми - 7 клас

теорема про суміжні кути

1

Сума суміжних кутів дорівнює 180 градусів.

теорема про вертикальні кути

2

Вертикальні кути рівні.

про існування та єдиність прямої, перпендикулярної до даної

3

Через кожну точку прямої можна провести пряму, перпендикулярну до даної, і до того ж тільки одну.

про точку, яка не належить даній прямій і пряму, перпендикулярну до даної

4

Через точку, яка не належить даній прямій, можна провести пряму, перпендикулярну до даної, і до того ж тільки одну.

ознака рівності трикутників за двома сторонами та кутом між ними (перша)

5

Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам та куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.

про всі точки серединного перпендикуляра відрізка

6

Кожна точка серединного перпендикуляра відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка.

ознака рівності трикутників за стороною та двома прилеглими до неї кутами (друга)

7

Якщо сторона та два прилеглих до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні та двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

дві властивості рівнобедреного трикутника

8

У рівнобедреному трикутнику:
1) кути при основі рівні;
2) бісектриса трикутника, проведена до його основи, є його медіаною та висотою.

чотири наслідки із властивостей рівнобедреного трикутника

9

1) у трикутнику проти рівних сторін лежать рівні кути;
2) у рівнобедреному трикутнику бісектриса, висота й медіана, проведені до його основи, збігаються;
3) у рівносторонньому трикутнику всі кути рівні;
4) у рівносторонньому трикутнику бісектриса, висота й медіана, проведені з однієї вершини, збігаються.

ознаки рівнобедреного трикутника

10

• Якщо медіана трикутника є його висотою, то цей трикутник рівнобедрений.
• Якщо бісектриса трикутника є його висотою, то цей трикутник рівнобедрений.
• Якщо в трикутнику два кути рівні, то цей трикутник рівнобедрений.
• Якщо медіана трикутника є його бісектрисою, то цей трикутник рівнобедрений.

властивості трикутників, які випливають
із властивостей та ознак рівнобедреного трикутника

11

1) У трикутнику проти рівних сторін лежать рівні кути.
2) У трикутнику проти рівних кутів лежать рівні сторони.
3) У рівнобедреному трикутнику бісектриса, висота й медіана, проведені до його основи, збігаються.
4) У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні.
5) У рівносторонньому трикутнику бісектриса, висота й медіана, проведені з однієї вершини, збігаються.
6) Якщо в трикутнику всі кути рівні, то цей трикутник рівносторонній.

ознака рівності трикутників за трьома сторонами (третя)

12

Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

про точки, рівновіддалені від кінців відрізка

13

Якщо точка рівновіддалена від кінців відрізка, то вона належить серединному перпендикуляру цього відрізка.

опп1 (ознака паралельності прямих про перпендикулярні прямі)

14

Дві прямі, які перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.

опп2 (ознака паралельності прямих про паралельні прямі)

15

Якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні.

опп3 (ознака паралельності прямих про різносторонні кути)

16

Якщо різносторонні кути, утворені при перетині двох прямих січною, рівні, то прямі паралельні.

опп4 (ознака паралельності прямих про односторонні кути)

17

Якщо сума односторонніх кутів, утворених при перетині двох прямих січною, дорівнює 180°, то прямі паралельні.

опп5 (ознака паралельності прямих про відповідні кути)

18

Якщо відповідні кути, утворені при перетині двох прямих січною, рівні, то прямі паралельні.

обернена до опп1 (про перпендикулярні прямі)

19

Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої.

обернена до опп3 (про різносторонні кути)

20

Якщо дві паралельні прямі перетинаються січною, то кути, які утворюють пару різносторонніх кутів, рівні.

обернена до опп4 (про односторонні кути)

21

Якщо дві паралельні прямі перетинаються січною, то сума кутів, які утворюють пару односторонніх кутів, дорівнює 180°.

обернена до опп5 (про відповідні кути)

22

Якщо дві паралельні прямі перетинаються січною, то кути, які утворюють пару відповідних кутів, рівні.

про суму кутів трикутника

23

Сума кутів трикутника дорівнює 180°.

наслідок із теореми про суму кутів трикутника

24

Серед кутів трикутника принаймні два кути гострі.

про зовнішній кут трикутника

25

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, не суміжних з ним.

наслідок із теореми про зовнішній кут трикутника

26

Зовнішній кут трикутника більший за кожний із кутів трикутника, не суміжних з ним.

нерівність трикутника

27

Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін.

про сторони і кути трикутника

28

У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки, проти більшого кута лежить більша сторона.

ознака рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою і катетом

29

Якщо гіпотенуза та катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та катету другого, то такі трикутники рівні.

ознака рівності прямокутних трикутників за за двома катетами

30

Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катетам другого, то такі трикутники рівні.

ознака рівності прямокутних трикутників за катетом і прилеглим гострим кутом

31

Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету й прилеглому до нього гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

ознака рівності прямокутних трикутників за катетом і протилежним гострим кутом

32

Якщо катет і протилежний йому гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету й протилежному йому гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

ознака рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою і гострим кутом

33

Якщо гіпотенуза та гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

про гіпотенузу (властивості прямокутного трикутника)

34

1) Гіпотенуза більша за катет.
2) Катет, що лежить проти кута величиною в 30°, дорівнює половині гіпотенузи.
3) Якщо катет дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.

наслідок із теореми про гіпотенузу

35

Якщо з однієї точки, яка не лежить на прямій, до цієї прямої проведено перпендикуляр і похилу, то перпендикуляр менший від похилої.

про серединний перпендикуляр (пряма і обернена)

36

Серединний перпендикуляр відрізка є геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців цього відрізка, а саме:
1) Кожна точка серединного перпендикуляра відрізка рівновіддалена від його кінців.
2) Якщо точка рівновіддалена від кінців відрізка, то вона належить серединному перпендикуляру цього відрізка.

про бісектрису кута (пряма і обернена)

37

Бісектриса кута є геометричним місцем точок, які належать куту й рівновіддалені від його сторін, тобто:
1) Кожна точка бісектриси кута рівновіддалена від його сторін.
2) Якщо точка, що належить куту, рівновіддалена від його сторін, то вона лежить на бісектрисі цього кута.

дві теореми про діаметр і хорду

38

1) Діаметр кола, перпендикулярний до хорди, ділить цю хорду навпіл.
2) Діаметр кола, який ділить хорду, відмінну від діаметра, навпіл, перпендикулярний до цієї хорди.

про властивість дотичної

39

Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

ознака дотичної до кола

40

Якщо пряма, яка проходить через точку кола, перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку, то ця пряма є дотичною до даного кола.

наслідок із ознаки дотичної до кола

41

Якщо відстань від центра кола до деякої прямої дорівнює радіусу кола, то ця пряма є дотичною до даного кола.

дві теореми про трикутник і коло

42

1) Навколо будь-якого трикутника можна описати коло.
2) У будь-який трикутник можна вписати коло.

про серединні перпендикуляри сторін трикутника

43

Три серединних перпендикуляри сторін трикутника перетинаються в одній точці.

про центр кола, описаного навколо трикутника

44

Центр кола, описаного навколо трикутника, — це точка перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника.

про бісектриси кутів трикутника

45

Бісектриси кутів трикутника перетинаються в одній точці.

про центр кола, вписаного в трикутник

46

Центр кола, вписаного в трикутник, — це точка перетину бісектрис трикутника.

чудова властивість кола

47

З будь-якої точки кола його діаметр, що не виходить з цієї точки, видно під прямим кутом.