Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін і косинуса кута між ними.
Якщо квадрат найбільшої сторони трикутника більший, ніж сума квадратів двох інших сторін, то трикутник тупокутний. Якщо квадрат найбільшої сторони трикутника менший, ніж сума квадратів двох інших сторін, то трикутник гострокутний. Якщо квадрат найбільшої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний.
Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів. Кожне з відношень дорівнює діаметру (або удвічі більше за радіус) кола, описаного навколо цього трикутника.
Радіус кола, описаного навколо трикутника, можна обчислити за формулою:
, де a — довжина сторони трикутника, α — величина протилежного цій стороні кута.
У трикутнику навпроти більшого кута лежить більша сторона, навпроти більшої сторони лежить більший кут.
Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін і синуса кута між ними.
Площу S трикутника зі сторонами a, b і c можна обчислити за формулою:
S2 = p (p − a) (p − b) (p − c), де p — його півпериметр.
Площу S трикутника зі сторонами a, b і c можна обчислити за формулою:
, де R — радіус кола, описаного навколо трикутника.
Площа трикутника дорівнює добутку його півпериметра та радіуса вписаного кола.
Площа описаного многокутника дорівнює добутку його півпериметра та радіуса вписаного кола.
Правильний многокутник є опуклим многокутником.
Будь-який правильний многокутник є як вписаним у коло, так і описаним навколо кола, причому центри описаного та вписаного кіл збігаються.
Відстань між точками A (x1; y1) і B (x2; y2) обчислюється за формулою:
Кожна координата середини відрізка дорівнює півсумі відповідних координат його кінців:
Рівняння кола радіуса r із центром у точці A (a; b) має вигляд:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2.
1) Рівняння прямої має вигляд ax + by = c, де a, b і c — деякі
числа, причому a і b не дорівнюють нулю одночасно.
2) Будь-яке рівняння виду ax + by = c, де a, b і c — деякі числа, причому a і b не дорівнюють нулю одночасно, є рівнянням прямої.
3) Якщо b = 0 і a ≠ 0, то рівняння прямої ax + by = c задає вертикальну пряму; якщо b ≠ 0, то це рівняння задає невертикальну пряму.
4) Коефіцієнт k(кутовий коефіцієнт прямої) у рівнянні прямої y = kx + b дорівнює тангенсу кута, який утворює ця пряма з додатним напрямом осі абсцис.
Прямі y = k1x + b1 і y = k2x + b2 є паралельними тоді й тільки тоді,
коли k1 = k2 і b1 ≠ b2.
Рівні вектори мають рівні відповідні координати. Якщо відповідні координати векторів рівні, то рівні й самі вектори.
Якщо точки A (x1; y1) і B (x2; y2) — відповідно початок і кінець вектора a , то числа x2 – x1 і y2 – y1 дорівнюють відповідно першій і другій координатам вектора a.
Якщо вектор a має координати (a1; a2), то його довжина обчислюється за формулою:
Якщо координати векторів a іb дорівнюють відповідно (a1; a2) і (b1; b2), то координати вектора a +b дорівнюють (a1 + b1; a2 + b2).
Якщо координати векторів a іb дорівнюють відповідно (a1; a2) і (b1; b2), то координати вектора a -b дорівнюють (a1 - b1; a2 - b2).
Для будь-яких векторів a іb виконується рівність a -b = a + (-b).
Якщо вектори a іb колінеарні й a ≠0, то існує таке число k, що b = k a.
Якщо координати вектора a дорівнюють (a1; a2) то координати вектора k a дорівнюють (ka1; ka2).
1) Вектори a(a1; a2) таb(ka1; ka2) колінеарні.
2) Якщо вектори a(a1; a2) іb(b1; b2) колінеарні, причому, a ≠0, то існує таке число k, що b1 = ka1 i b2 = ka2.
Якщо точка H — ортоцентр трикутника ABC, а точка O — центр його описаного кола, то виконується рівність:
Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні.
Скалярний добуток векторів a (a1; a2) іb(b1; b2) можна обчислити за формулою: a ·b = a1b1 + a2b2.
Косинус кута між ненульовими векторами a (a1; a2) іb(b1; b2) можна обчислити за формулою:
Паралельне перенесення є рухом.
Якщо фігура F1 — образ фігури F при паралельному перенесенні, то F1 = F.
Осьова симетрія є рухом.
Якщо фігури F і F1 симетричні відносно прямої, то F = F1.
Центральна симетрія є рухом.
Якщо фігури F і F1 є симетричними відносно точки, то F = F1.
). Поворот є рухом.
Якщо фігура F1 — образ фігури F при повороті, то F = F1.
При гомотетії фігури F із коефіцієнтом k усі відстані між її точками змінюються в | k | разів, тобто якщо A і B — довільні точки фігури F,
а точки A1 і B1 — їхні відповідні образи при гомотетії з коефіцієнтом k, то A1B1 = | k | AB.
Якщо трикутник A1B1C1 гомотетичний трикутнику ABC із коефіцієнтом гомотетії k, то трикутник ∆A1B1C1 подібний трикутнику ∆ABC з коефіцієнтом подібності k.
Відношення площ подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.
