Тіла обертання

Оберіть потрібну рубрику, клікніть її – так швидше знайдете необхідну шпаргалку.

• Види тіл обертання
• Як малювати тіла обертання в зошиті в клітинку?
• Циліндр
• Конус
• Куля
• Формули
• Тіла обертання навколо нас
• Частини сфери
• Сферичний сегмент
• Кульовий сектор
• Сферичний пояс
• Комбінації тіл
• Питання для самоперевірки

Тіла обертання — це об'ємні тіла, що виникають при обертанні плоскої геометричної фігури,
обмеженою кривою навколо осі, що лежить в тій же площині.

З математичної точки зору, для нас, перш за все, цікаві наступні геометричні тіла обертання:
циліндр, конус та куля.

Види тіл обертання

ЦИЛІНДР

КОНУС

ЕЛІПСОЇД

ГІПЕРБОЛОЇД

ПАРАБОЛОЇД

КУЛЯ

ТОР

ЗРІЗАНИЙ КОНУС

Як малювати тіла обертання
в зошиті в клітинку?

Тіла обертання навколо нас

Циліндр

Циліндр – це геометрична фігура, утворена обертанням прямокутника навколо однієї зі сторін.

Елементи циліндра

Сторону прямокутника, навколо якої він обертається, називають віссю циліндра. Сторона прямокутника, обертаючись, утворює рівні круги, які називають основами циліндра. При обертанні утворюється циліндрична поверхня, яку називають бічною поверхнею циліндра.

Перерізи циліндра

Осьовий переріз циліндра — це переріз циліндра площиною, що проходить через його вісь, і завжди утворює прямокутник, сторонами якого є висота циліндра (або твірна) та діаметр його основи. Цей прямокутник є найбільшим можливим перерізом циліндра, що проходить через вісь.

Переріз циліндра може мати різні форми. Все залежить від площини, якою він перетинається. 1) Якщо січна площина проходить через вісь циліндра, утворюється осьовий переріз, який має форму прямокутника. Одна зі сторін є діаметром основи, а інша — твірною циліндра. 2) У випадку, якщо площина перетинає циліндр під кутом, можуть утворюватися прямокутники, кола, еліпси або обрізані еліпси. 3) Якщо січна площина не проходить через вісь циліндра, але перпендикулярна до його основ, то також утворюється прямокутник.

Розгортки циліндра

Конус

Конус – це геометрична фігура, що утворена обертанням прямокутного трикутника навколо одного із катетів.

Елементи конуса

Зрізаний конус – це тіло обертання, яке утворюється в результаті обертання прямокутної трапеції навколо бічної сторони (яка перпендикулярна до основи трапеції) або в результаті обертання рівнобедреної трапеції навколо її осі симетрії.

Назва «зрізаний конус» пов'язана з тим, що це тіло можна розглядати і як частину конуса, яка відсікається від нього деякою січною площиною, перпендикулярною до осі конуса.

Круги, що описуються основами трапеції, називаються основами зрізаного конуса, а відстань між ними — його висотою.

Елементи зрізаного конуса

Висота прямого конуса перпендикулярна до площини його основи.

Об'єм одного циліндра дорівнює сумі об'ємів трьох конусів, якщо вони мають однакову висоту (H) та однаковий радіус основи (R). Якщо наповнити конус піском і висипати його в циліндр (з тими ж параметрами), знадобиться рівно три повні конуси, щоб заповнити весь циліндр.

Перерізи конуса

Осьовий переріз конуса — це фігура, що утворюється при перетині конуса площиною, що проходить через вісь обертання конуса. Осьовий переріз конуса є трикутником, причому не просто трикутником, а рівнобедреним. Це відбувається тому, що всі твірні конуса рівні між собою, а вісь проходить через вершину і центр основи. Площина, що містить вісь, перетинає конус по двох твірних, які стають бічними сторонами трикутника. Основою такого трикутника є діаметр круга — основи конуса.

Конічні перерізи — це криві, утворені перетином площиною з однією або обома частинами конуса. Основні види конічних перерізів включають:коло, еліпс, параболу та гіперболу. Коло — коли січна площина паралельна до основи конуса (і перпендикулярна до осі конуса). Еліпс — коли січна площина не паралельна до основи конуса (і вісь конуса перетинає під гострим кутом). Парабола — коли січна площина проходить паралельно до однієї твірної частини конуса. Гіпербола — коли січна площина перетинає дві частини конічної поверхні (і нижню, і верхню). Ці конічні перерізи вивчалися давніми греками, такими як Апполлоній, і мають важливі застосування в астрономії та архітектурі.

Розгортки конуса

Куля

Куля так само, як циліндр і конус, є тілом обертання. Вона утворюється при обертанні півкруга навколо його діаметра як осі (або обертання круга навколо одного з діаметрів). Цей діаметр називають віссю кулі, а його кінці — полюсами кулі. Відрізок, який сполучає дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром. Кінці будь-якого діаметра називаються діаметрально протилежними точками кулі. Поверхня кулі має спеціальну назву - сфера. Сферою називають фігуру, яка складається з усіх точок простору, що віддалені від даної точки О на задану відстань R. Дану точку О називають центром сфери, а число R — радіусом сфери. Тіло, яке є частиною простору, обмеженою сферою, разом зі сферою, називають кулею. Сферу, яка обмежує кулю, називають поверхнею кулі. Центр і радіус сфери називають також центром і радіусом кулі.

Елементи кулі

Велике коло сфери — це перетин сфери площиною, що проходить через її центр. Воно ділить сферу на дві рівні півсфери, має радіус, рівний радіусу сфери, і є найкоротшим шляхом (ортодромою) між двома точками на поверхні. Прикладoм є екватор Землі або небесний екватор. На небесній сфері — це екватор, екліптика, небесний меридіан.

Перерізи кулі

Переріз кулі будь-якою площиною завжди буде кругом, а сфери — колом. Відстань від центра кулі до перерізу визначається перпендикуляром, опущеним з центра кулі до площини перетину. Якщо площина дотикається до кулі, то перерізом є точка.

Чим менша відстань від січної площини до центра кулі, тим більший радіус перерізу.

Хорда кулі — це відрізок, що з'єднує будь-які дві точки на поверхні кулі (сфері), а хорда, що проходить через центр, називається діаметром кулі (найбільшою хордою). Ці відрізки допомагають зрозуміти геометрію кулі, перерізи та її властивості, і вона тісно пов'язана з поняттями радіуса, сфери та січної площини.
Основні поняття
Хорда кулі: Відрізок, кінці якого лежать на сфері (поверхні кулі).
Діаметр кулі: Хорда, що проходить через центр кулі; має найбільшу довжину, рівну двом радіусам.
Радіус кулі: Відрізок, що з'єднує центр кулі з будь-якою точкою її поверхні.
Сфера: Поверхня кулі, множина всіх точок, віддалених від центру на однакову відстань.
Властивості хорди кулі
Будь-яка хорда кулі (якщо вона не діаметр) знаходиться всередині кулі.
Переріз кулі площиною (якщо відстань від центру до площини менша за радіус) утворює круг, а хордами цього круга є лінії перетину площини з поверхнею кулі (сфери), що лежать у цій площині.

Розгортки сфери

Формули

Частини сфери (кулі)

Сферичний сегмент або Сферична чаша

Сферичний сегмент — це частина сфери, що відтинається від неї деякою площиною. Площина ділить сферу на два сегменти, менший сегмент інколи називають сферичним кругом.

Кульовий сектор

Кульовий сектор — це геометричне тіло, утворене обертанням кругового сектора навколо одного з радіусів, що обмежує його. Кульовий сектор може бути першим типом, коли обмеження обертається навколо одного з радіусів, або другим типом, коли обмеження обертається навколо діаметра.

Сферичний пояс або Кульовий шар

Сферичний пояс – це частина кулі, яка розміщена між двома паралельними січними площинами (основами пояса).

Площа сферичного пояса залежить лише від висоти пояса і радіуса кулі.

Комбінації тіл

2D малюнок замість 3D малюнка
(для розв'язування задач про комбінацію тіл)

Вписані та описані тіла

Безліч циліндрів, вписаних у конус

Тор

Тор — це геометричне тіло, утворене обертанням кола навколо осі, яка лежить у площині цього круга і не перетинає його. Тор має порожній вигляд, наприклад, у вигляді бублика або шини автомобіля. Його поверхня називається торою, а об'єм — тором. Площу тора можна обчислити за формулою S = 4π²rR, а об'єм — за формулою
V = 2π²r²R,  де r — радіус круга,  а R — відстань від центрa круга до осі обертання. Тор має вісь симетрії та центр симетрії. Тор є поверхнею повноторія (заповненого тора).

Питання для самоперевірки

Циліндр

1) Яке геометричне тіло називається циліндром?
2) Внаслідок обертання якої геометричної фігури утворюється циліндр?
4) Які існують види перерізів циліндра?
5) Чому дорівнює площа поверхні циліндра?
6) Чому дорівнює об’єм циліндра?

Конус

1) Яке геометричне тіло називається конусом?
2) Внаслідок обертання якої геометричної фігури утворюється конус?
3) Що є елементами конуса?
4) Види перерізів конуса?
5) Чому дорівнює площа поверхні конуса?
6) Чому дорівнює об’єм конуса?

Куля

1) Яке геометричне тіло називається кулею; сферою?
2) Внаслідок обертання якої геометричної фігури утворюється куля, сфера?
3) Що є елементами кулі?
4) Які існують перерізи кулі?
5) Чому дорівнює площа поверхні сфери?
6) Чому дорівнює об’єм кулі? Кульового сектора? Кульового сегменту?
7) Вкажіть назви тіл, зображених на малюнку.