про пряму і точку, яка їй не належить і площину
1
Через пряму і точку, яка їй не належить, проходить площина, і до того ж тільки одна.
про дві прямі, які перетинаються і площину
2
Через дві прямі, які перетинаються, проходить площина, і до того ж тільки одна.
про дві паралельні прямі і площину
3
Через дві паралельні прямі проходить площина, і до того ж тільки одна.
про точку в просторі, яка не належить даній прямій
4
Через точку в просторі, яка не належить даній прямій, проходить пряма, паралельна даній, і до того ж тільки одна.
ознака мимобіжних прямих
5
Якщо одна з двох прямих лежить у площині, а друга перетинає цю площину в точці, яка не належить першій прямій, то дані прямі мимобіжні.
ознака паралельності прямої та площини
6
Якщо пряма, яка не належить даній площині, паралельна якій-небудь прямій, що лежить у цій площині, то дана пряма паралельна самій площині.
про дві площини, які перетинаються і пряму
7
Якщо площина проходить через дану пряму, паралельну другій площині, та перетинає цю площину, то пряма перетину площин паралельна даній прямій.
про дві прямі та площину
8
Якщо пряма паралельна площині, то в цій площині існує пряма, паралельна даній прямій.
про дві площини і три прямі
9
Якщо через кожну з двох паралельних прямих проведено площину, причому ці площини перетинаються по прямій, відмінній від двох даних, то ця пряма паралельна кожній із двох даних прямих.
про три паралельні прямі
10
Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.
ознака паралельності двох площин
11
Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини паралельні відповідно двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.
про дві паралельні площини і точку у просторі
12
Через точку в просторі, яка не належить даній площині, проходить площина, паралельна даній площині, і до того ж тільки одна.
про три площини і дві прямі
13
Прямі перетину двох паралельних площин третьою площиною паралельні.
теорема Дезарга
14
Якщо трикутники ABC і A1B1C1 розміщені на площині так, що прямі AA1, BB1 і CC1 перетинаються в одній точці, то точки перетину прямих AB і A1B1, BC і B1C1, AC і A1C1 належать одній прямій.
про паралельні проекції прямої та відрізка
15
Паралельною проекцією прямої є пряма; паралельною проекцією відрізка є відрізок.
про паралельні проекції паралельних прямих і паралельних відрізків
16
Паралельною проекцією двох паралельних прямих є або пряма, або дві паралельні прямі. Паралельні проекції двох паралельних відрізків лежать на одній прямій або на паралельних прямих.
про відношення паралельних проекцій відрізків
17
Відношення паралельних проекцій відрізків, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих, дорівнює відношенню самих відрізків.
про кут між двома прямими і паралельні прямі
18
Кут між двома прямими, що перетинаються, дорівнює куту між двома іншими прямими, що перетинаються та відповідно паралельні даним.
ознака перпендикулярності прямої та площини - 1
19
Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що лежать у площині та перетинаються, то вона перпендикулярна до цієї площини.
ознака перпендикулярності прямої та площини - 2
20
Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й друга пряма перпендикулярна до цієї площини.
ознака паралельності двох прямих, які перпендикулярні до однієї і тієї самої площини
21
Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, то вони паралельні
про точку, площину і перпендикулярну пряму
22
Через дану точку можна провести пряму, перпендикулярну до даної площини, і до того ж тільки одну.
про довжину перпендикуляра і похилої, які проведені з однієї точки
23
Якщо з однієї точки проведено до площини перпендикуляр і похилу, то похила більша за перпендикуляр.
теорема про три перпендикуляри
24
Якщо пряма, яка належить площині, перпендикулярна до проекції похилої до цієї площини, то вона перпендикулярна й до самої похилої. І навпаки, якщо пряма, яка належить площині, перпендикулярна до похилої до цієї площини, то вона перпендикулярна й до проекції похилої на цю площину.
ознака перпендикулярності площин
25
Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.
про дві перпендикулярні площини та дві прямі
26
Якщо дві площини перпендикулярні, то пряма проведена в одній площині перпендикулярно до прямої перетину площин, є перпендикулярною до другої площини.
про площу ортогональної проекції многокутника
27
Площа проекції опуклого многокутника дорівнює добутку його площі та косинуса кута α між площиною многокутника та площиною проекції, де α є [0°; 90°).
про відстань між двома точками у просторі
28
Відстань між двома точками A (x1; y1; z1) і B (x2; y2; z2) можна знайти за формулою:
про координати середини відрізка
29
Кожна координата середини відрізка дорівнює півсумі відповідних координат його кінців.
про координати вектора
30
Якщо точки A (x1; y1; z1) і B (x2; y2; z2) — відповідно початок і кінець вектора a , то числа x2 – x1, y2 – y1 і z2 – z1 дорівнюють відповідно першій, другій і третій координатам вектора a .
про довжину вектора
31
Якщо вектор a має координати (a1; a2; a3), то його довжина обчислюється за формулою:
про суму двох векторів
32
Якщо координати векторів a іb дорівнюють відповідно (a1; a2; a3) і (b1; b2; b3), то координати вектора a +b дорівнюють (a1 + b1; a2 + b2; a3 + b3).
про різницю двох векторів
33
Якщо координати векторів a іb дорівнюють відповідно (a1; a2; a3) і (b1; b2; b3), то координати вектора a -b дорівнюють (a1 - b1; a2 - b2; a3 - b3).
про протилежні вектори
34
Для будь-яких векторів a іb виконується рівність a -b = a + (-b).
про колінеарні вектори
35
Якщо вектори a іb колінеарні й a ≠0, то існує таке число k, що b = k a.
про добуток вектора на число
36
Якщо координати вектора a дорівнюють (a1; a2; a3) то координати вектора k a дорівнюють (ka1; ka2; ka3).
про скалярний добуток і перпендикулярність
37
Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні.
про скалярний добуток і координати векторів
38
Скалярний добуток векторів a (a1; a2; a3) іb(b1; b2; b3) можна обчислити за формулою: a ·b = a1b1 + a2b2 + a3b3.
про косинус кута між векторами
39
Косинус кута між ненульовими векторами a (a1; a2; a3) іb(b1; b2; b3) можна обчислити за формулою:
про геометричне місце точок простору, рівновіддалених від кінців відрізка
40
Площина, яка перпендикулярна до відрізка та проходить через його середину, є геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців цього відрізка.
про бісектор двогранного кута
41
Бісектор двогранного кута є геометричним місцем точок, які належать двогранному куту й рівновіддалені від його граней.
pівняння сфери, яка задана у координатному просторі
42
Рівняння сфери радіуса r із центром у точці A (a; b; c) має вигляд:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2.
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2.
рівняння площини
43
Рівняння площини має вигляд ax + by + cz + d = 0, де a, b, c і d — деякі числа, причому a, b і c не дорівнюють нулю одночасно.
про вектор і рівняння площини
44
Вектор n (a;b;c) перпендикулярний до площини, рівняння якої має вигляд ax + by + cz + d = 0.
