Питання для самоперевірки

Степені і степеневі функції

1. Що розуміють під степенем з натуральним показником?

2. Чому дорівнює а⁰, якщо а ≠ 0?

3. Що розуміють під степенем з цілим показником?

4. Сформулюйте основну властивість степеня з цілим показником.

5. Чи завжди правильне твердження «якщо а = b, то аⁿ = bⁿ  »?

6. За яких умов правильне твердження «якщо аⁿ = b^п , то а = b»?

7. За якої умови має зміст вираз а^1/n ?

8. Що розуміють під степенем з дробовим показником?

9. За яких умов має зміст вираз a^m/n ?

10. Чи завжди правильна рівність (a^1/n)ⁿ = а?

11. За яких умов правильна рівність (а^t)^1/n = а^m/n  ?

12. Сформулюйте означення кореня n-го степеня.

13. Які вирази називають раціональними, ірраціональними, алгебраїчними, трансцендентними?

14. Що розуміють під степенем з ірраціональним показ­ником?

15. Які властивості мають степені з дійсними показ­никами?

16. Які функції називають степеневими?

17. Назвіть важливіші властивості степеневих функцій.

18. Які рівняння називають ірраціональними?

19. За яких умов рівняння f(x) = h(x) і fⁿ(x) = hⁿ(x) рівносильні?

20. Наведіть приклади ірраціональних нерівностей. Як їх розв'язують?

Показникова та логарифмічна функції

1. Сформулюйте означення показникової функції.

2. Назвіть основні властивості показникової функції.

3. За якої умови показникова функція зростає, спадає?

4. Чи задає рівність у =1^х  функцію? Який її графік? Чи є ця функція показниковою?

5. Що таке експонента? Накресліть її графік.

6. Що таке логарифм числа? Наведіть приклади.

7 . Які логарифми називають десятковими, натуральними?

8. Сформулюйте основні властивості логарифмів.

9. Напишіть основну логарифмічну тотожність.

10. Які функції називають логарифмічними?

11. Назвіть основні властивості логарифмічної функції.

12. За якої умови логарифмічна функція зростає, спадає?

13. Які функції називають взаємно оберненими? Наведіть приклади.

14. Які рівняння називають показниковими, логарифміч­ними?

15. Як розв'язують показникові та логарифмічні рівняння?

16. Як розв'язують показникові та логарифмічні нерівності?

Триногометричні функції

1. Що таке синус, косинус, тангенс, котангенс кута?

2. Що таке радіан? Скільки радіанів має прямий кут?

3. Що таке синус, косинус, тангенс, котангенс числа?

4. Які знаки мають тригонометричні функції кута в різних чвертях?

5. Сформулюйте і доведіть основну тригонометричну то­тожність.

6. Сформулюйте і доведіть формули зведення для кутів п/2 + a .

7. Сформулюйте загальне правило зведення. Наведіть при­клади.

8. Сформулюйте і доведіть формулу додавання для соs(x-y).

9. Напишіть формули додавання для тригонометричних функцій.

10. Напишіть і доведіть формули подвійних кутів.

11. Виведіть формули пониження степеня для sіn² х і сos² x.

12. Виведіть формули половинних кутів.

13. Напишіть формули перетворення суми тригонометрич­них функцій.

14. Доведіть формулу перетворення суми синусів двох кутів.

15. Які рівняння називають тригонометричними?

16. Як розв'язують найпростіші тригонометричні рівняння?

17. Сформулюйте основні властивості функцій у = sin x, у = соs х, у = tg х.

18. Як називають графіки функцій у = sin x, у = tg х?

19. Як розв'язують рівняння виду sin(kx + b) = a  і аsin²х + bsinх + с = 0?

20. Як розв'язують найпростіші тригонометричні нерівності?

Похідна та її застосування

1. Що таке функція, область визначення, область значень?

2. Які функції називають парними, непарними, зростаючими?

3. Що розуміють під границею функції в точці?

4. Що таке приріст аргументу, приріст функції на [ х; х+ / Ì х]?

5. Яку функцію називають неперервною в точці, на проміжку?

6. Що розуміють під дотичною до графіка функції?

7. Що таке кутовий коефіцієнт дотичної? Чому він дорівнює?

8. Сформулюйте означення похідної функції в точці.

9. Що таке диференціювання? Наведіть приклади.

10. Яку функцію називають диференційовною в точці, на проміжку?

11. Сформулюйте і доведіть теорему про похідну суми функцій.

12. Сформулюйте теореми про похідну добутку, дробу, сте­пеня.

13. Чому дорівнює похідна синуса, косинуса, тангенса, котангенса?

14. Що означає дослідити функцію?

15. Що називають критичними точками функції?

16. Що таке точка максимуму, мінімуму, екстремуму?

17. Що таке максимум, мінімум функції?

18. Що розуміють під екстремальним значенням функції?

19. Сформулюйте необхідну умову існування екстремуму функції.

20. Сформулюйте достатню умову існування екстремуму функції.

21. Що таке найбільше, найменше значення функції?

22. Розкрийте геометричний зміст похідної.

23. Розкрийте фізичний зміст похідної.

Показникові і степеневі рівняння та нерівності

1.  Назвати основні властивості степенів.
2.  Яке рівняння називається показниковим? Навести приклади.
3.  Чи має розв’язок показникове рівняння  а^х = b, якщо b < 0 ?
4.  У чому полягає спосіб зведення до спільної основи під час розв’язування показникових рівнянь?
5.  Пояснити суть способу зведення до спільного показника при розв’язуванні показникових рівнянь.
6.  У чому полягає спосіб винесення спільного множника за дужки у показникових рівняннях?
7.  Пояснити спосіб введення заміни при розв’язуванні показникових рівнянь.
8.  Як розв’язують показникові рівняння виду A^2x + B^x + C = 0 ? Записати в аналітичній формі показникову нерівність найпростішого виду.
9.  Які способи розв’язування показникових нерівностей ви знаєте?
10.  Охарактеризувати один із способів розв’язування показникових нерівностей.
11.  Назвати основні властивості логарифмів.
12.  Які рівняння називають логарифмічними? Навести приклади.
13.  Яка причина появи сторонніх коренів під час розв’язування логарифмічних рівнянь?
14.  Які способи розв’язування логарифмічних рівнянь вам відомі?
15.  Охарактеризувати один із способів розв’язування логарифмічних рівнянь.
16.  Які рівняння називають показниково-логарифмічними?
17.  Як розв’язують показниково-логарифмічні рівняння?
18.  Як розв’язують найпростіші логарифмічні нерівності?
19.  Які методи використовують при розв’язуванні складніших логарифмічних нерівностей?

Первісна та інтеграл

1. Сформулюйте означення первісної. Наведіть приклади.

2. Сформулюйте і доведіть основну властивість первісних.

3. Сформулюйте і доведіть три правила знаходження пер­вісних.

4. Чому дорівнюють первісні функцій: х ^п,  sіn х, соs х, е ^х, а ^х, ln x?

5. Що таке підграфік функції (криволінійна трапеція)? Наведіть приклади.

6. Як знаходять площу під графіка функції?

7. Що таке інтегральна сума?

8. Напишіть і прокоментуйте формулу Ньютона—Лейбніца.

9. Що називають невизначеним інтегралом? Як його обчислюють?

10. Що називають визначеним інтегралом? Як його обчислюють?

11. Геометричний зміст визначеного інтеграла.

12. Фізичний зміст визначеного інтеграла.

Декартові координати і вектори у просторі

1. Поясніть, як означаються координати точки у просторі.

2. Виразіть відстань між двома точками через координати цих точок.

3. Виведіть формули для координат середини відрізка через координати його кінців.

4. Що таке перетворення симетрії відносно площини, прямої, точки?

5. Що називають вектором?

6. Що таке абсолютна величина вектора?

7. Які вектори нази­ваються колінеарними?

8. Дайле означення координат вектора з початком у точці А₁ (х₁; у₁;z₁ ) і кінцем у точці А₂(х₂; у₂;z₂).

9. Дайте означення дій над векторами: додавання, множення на число, скалярного добутку.

10. Назвіть основні властивості дій над векторами.

Паралельність і перпендикулярність прямих та площин у просторі

1. Що таке стереометрія?
2. Сформулюйте аксіоми групи С.
3. Доведіть, що через пряму і точку, яка лежить на ній, можна провести площину і до того ж тільки одну.
4. Доведіть, що коли дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.
5. Доведіть, що через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну.
6. Які прямі в просторі називаються паралельними?
7. Які прямі називаються мимобіжними?
8. Доведіть, що через точку поза даною прямою можна провести пряму, паралельну цій прямій, і до того ж тільки одну.
9. Доведіть ознаку паралельності прямих.
10. Що означає: пряма і площина паралельні?
11. Доведіть ознаку паралельності прямої і площини.
12. Які площини називаються паралельними?
13. Доведіть ознаку паралельності площин.
14. Доведіть, що через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і того ж тільки одну.
15. Доведіть, що коли дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.
16. Доведіть, що відрізки паралельних площин, які містяться між двома паралельними площинами, рівні.
17. Перелічіть властивості паралельного проектування.
18. Які прямі у просторі називаються перпендикулярними?
19. Доведіть, що прямі які перетинаються і відповідно паралельні перпендикулярним прямим, перпендикулярні.
20. Дайте означення перпендикулярності прямої і площини.
21. Доведіть ознаку перпендикулярності прямої і площини.
22. Доведіть, що коли площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої прямої.
23. Доведіть, що дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої площини паралельні.
24. Що таке перпендикуляр, опущений з даної точки на площину?
25. Що називається відстанню від точки до площини?
26. Що таке похила, проведена з даної точки до площини? Що таке проекція похилої?
27. Доведіть теорему про три перпендикуляри.
28. Які площини називаються перпендикулярними?
29. Доведіть ознаку перпендикулярності площин.
30. Що таке спільний перпендикуляр мимобіжних прямих.
31. Доведіть, що мимобіжні прямі мають спільний перпендикуляр і до того ж тільки один, причому він є спільним перпендикуляром до паралельних площин, які проходять через ці прямі.
32. Що називається відстанню між мимобіжними прямими?

Многогранники. Об’єми та площі поверхонь многогранників

1. Що таке двогранний кут (грань кута, ребро кута)?
2. Що таке лінійний кут двогранного кута?
3. Чому міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута?
4. Поясніть, що таке тригранний кут (грані і ребра тригранного кута).
5. Поясніть, що таке плоскі і двогранні кути тригранного кута.
6. Що многогранник?
7. Який многогранник називається опуклим?
8. Що таке грань опуклого многогранника, ребро, вершина?
9. Що таке призма?
10. Доведіть, що основи призми лежать на паралельних площинах і рівні, бічні ребра паралельні і рівні, бічні грані – паралелограми.
11. Що таке висота призми?
12. Що таке діагональ призми?
13. Якою фігурою є переріз призми площиною, паралельною бічним ребрам, зокрема, діагональний переріз?
14. Як побудувати переріз призми площиною, яка проходить через дану пряму в площині основи призми і дану точку на одній з бічних граней?
15. Яка призма називається прямою (похилою)?
16. Яка призма називається правильною?
17. Що таке бічна поверхня призми (повна поверхня призми)?
18. Доведіть, що бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми.
19. Що таке паралелепіпед?
20. Доведіть, що протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.
21. Доведіть, що діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться пополам.
22. Доведіть, що точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром симетрії?
23.  Який паралелепіпед називається прямокутним? Що таке лінійні розміри прямокутного паралелепіпеда?
24. Що таке куб?
25. Доведіть, що у прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.
26. Скільки площин симетрії має прямокутний паралелепіпед?
27. Що таке піраміда?
28. Якою фігурою є переріз піраміди площинами, які проходять через її вершину?
29. Що таке діагональний переріз піраміди?
30. Як побудувати переріз піраміди площиною, яка проходить через дану пряму у площині основи піраміди і дану точку на одній з бічних граней?
31. Доведіть, що площина, яка перетинає піраміду і паралельна її основі відтинає від неї подібну піраміду.
32. Поясніть, що таке зрізана піраміда?
33. Яка піраміда називається правильною? Що таке вісь правильної піраміди?
34. Що таке апофема правильної піраміди?
35. Доведіть, що бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.
36. Який многогранник називається правильним?
37. Перелічіть п’ять типів правильних многогранників і опишіть їх.
38. Сформулюйте основні властивості об’єму.
39. Доведіть, що об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту.
40. Доведіть, що об’єм трикутної призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.
41. Доведіть, що об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.
42. Доведіть, що трикутні піраміди з рівними площами основ і рівними висотами рівновеликі.
43. Виведіть формулу для об’єму трикутної піраміди.
44. Доведіть, що об’єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі її основи на висоту.
45. Доведіть, що об’єми подібних тіл відносяться, як куби відповідних лінійних розмірів.

Тіла і поверхні обертання. Об’єми тіл обертання та площі їх поверхонь

1. Поясніть, що таке круговий циліндр (твірна циліндра, основи циліндра, бічна поверхня циліндра).
2. Який циліндр називається прямим?
3. Що таке радіус циліндра, висота циліндра, вісь циліндра, осьовий переріз циліндра?
4. Доведіть, що площина, паралельна площині основи циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, яке дорівнює колу основи.
5. Що таке призма вписана у циліндр? Що таке дотична площина до циліндра?
6. Що таке круговий конус, вершина конуса, твірна конуса, основа конуса, бічна поверхня конуса?
7. Який конус називається прямим?
8. Що таке висота конуса, вісь конуса, осьовий переріз конуса?
9. Доведіть, що площина, паралельна площині основи конуса, перетинає бічну поверхню по колу з центром на осі конуса.
10. Що таке зрізаний конус?
11. Яка піраміда називається вписаною у конус (описаною навколо конуса)? Що таке дотична площина до конуса?
12. Що таке куля (кульова поверхня або сфера)?
13. Що таке радіус кулі, діаметр кулі? Які точки кулі називаються діаметрально протилежними?
14. Доведіть, що перетином кулі з площиною є круг.
15. Яка площина називається діаметральною площиною кулі? Що таке великий круг?
16. Доведіть, що будь-яка діаметральна площина кулі є площиною її симетрії. Центр кулі є її центром симетрії?
17. Яка площина називається дотичною до кулі?
18. Доведіть, що дотична площина має з кулею тільки одну спільну точку – точку дотику.
19. Яка пряма називається дотичною до кулі?
20. Доведіть, що лінія перетину двох сфер є коло.
21. Який многогранник називається вписаним у кулю (описаним навколо кулі)?
22. Виведіть формулу для об’єму циліндра.
23. Виведіть формулу для об’єму конуса.
24. Виведіть формулу для об’єму тіл обертання.
25. Виведіть формулу для об’єму кулі.
26. Що таке кульовий сегмент? Виведіть формулу для об’єму кульового сегмента.
27. Що таке кульовий сектор? За якою формулою обчислюють об’єм кульового сектора?
28. За якою формулою обчислюють площу бічної поверхні циліндра?
29. За якою формулою знаходять площу бічної поверхні конуса?
30. За якою формулою обчислюють площу сфери?

Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики

1. Чим займається теорія імовірності як математична наука?
2. Що таке стохастичний експеримент?
3. Які події називаються випадковими?
4. Навести приклади випадкових подій; масових випадкових подій.
5. Які приклади підтверджують існування закономірностей у масових випадкових подіях.
6. Як виникла теорія імовірностей? Де вона застосовується?
7. Які поняття теорії імовірностей приймаються за первісні, не означувані поняття?
8. Яка подія називається випадковою?
9. Які випадкові події називаються масовими? Навести приклади.
10. Які події називаються попарно несумісними?Навести приклади.
11. Які сукупності подій утворюють повну групу? Навести приклади.
12. Які події називають однаково можливими?Навести приклади.
13. Які події називаються елементарними.Навести приклади.
14. Сформулюйте класичне означення імовірності події. Між якими числами вона міститься?
15. Чому дорівнює імовірність вірогідної події?
16. Чому дорівнює імовірність неможливої події?
17. Яка сполука називається перестановкою? Записати формулу для обчислення числа перестановок з n елементів.
18. Які характеристичні ознаки перестановок?
19. Яка сполука називається розміщенням із m елементів по n? Записати формулу для обчислення числа розміщень із m елементів по n.
20. Які характеристичні ознаки розміщень?
21. Яка сполука називається комбінацією з m елементів по n? Записати формулу для обчислення числа комбінацій із m елементів по n?
22. Які характеристичні ознаки комбінацій?
23. Яка подія називається складеною?Навести приклади.
24. Що називається сумою подій?Навести приклади.
25. Сформувати теорему додавання імовірностей несумісних подій наслідки з неї.
26. Які дві події називаються протилежними?
27. У чому полягає принцип практичної неможливості малоймовірних подій?
28. Яку імовірність випадкової події називають безумовною?
29. Яку імовірність випадкової події називають умовною?
30. Як обчислюється за означенням умовна імовірність події В за умови, що подія А вже відбулася?
31. Сформулювати теорему множення імовірності сумісної появи подій.
32. Сформулювати теорему про імовірність здійснення принаймні однієї з незалежних у сукупності подій.
33. Який вигляд приймає формула імовірності здійснення принаймні однієї з незалежних у сукупності подій А ₁, А ₂ ,…А _n якщо Р(А ₁) =Р(А ₂)…=Р(А _n) = р?
34. Які випробування називаються взаємно незалежними?Навести приклади.
35. Записати формулу Бернуллі. До розв’язування яких задач її застосовують?
36. Які види статистичних таблиць ви знаєте?
37. Яке групування в таблиці називається групувальним?
38. Що таке варіаційний ряд?
39. Що називається частотою значення ознаки?
40. Які графічні зображення використовуються для наочного уявлення статистичного розподілу?
41. Що таке гістограма?
42. Що таке ряд розподілу?
43. Що таке полігон? Як його побудувати?
44. Як побудувати гістограму для графічного зображення інтервального варіаційного ряду?
45. Що таке мода? Як її визначають?
46. Коли вважається, що група оцінок не має моди?
47. Де використовується мода?
48. Що таке медіана? Як її визначають?
49. Які види середніх значень величин застосовують у статистиці?
50. На власному прикладі пояснити, що таке середнє арифметичне даних чисел?
51. Записати формулу середнього квадратичного даних чисел.
52. Записати формулу середнього геометричного даних чисел.
53. Що називають мірами центральної тенденції?